Алексей Мельников родился в Москве в 1990 году. Во время обучения в Московской средней специальной музыкальной школе им. Гнесиных принимал участие во многих национальных и международных юношеских музыкальных состязаниях. 

В 2008 году продолжил обучение в Московской государственной консерватории. В студенческие годы стал лауреатом международных конкурсов памяти Веры Лотар-Шевченко в Новосибирске (II премия), в Канту (Италия, I премия), Сан-Марино (I премия) и Хамамацу (Япония, III премия). 

Выступал с оркестрами России, Чехии,  Румынии, Сан-Марино, Японии и многими другими. Сольные концерты музыканта проходили в городах России, США, Германии, Италии, Франции, Бельгии, Японии, Франции, Чехии, Италии. Пианист принимал участие в международных фестивалях в России и за рубежом. 

В 2017 году Алексей Мельников стал победителем II Манхэттенского международного музыкального конкурса в Нью-Йорке и выступил на сцене знаменитого Карнеги-холла. В июне 2019 года завоевал III премию и бронзовую медаль XVI Международного конкурса имени П. И. Чайковского.

В программе липецкого концерта: Ф. Шопен, Ноктюрн ми бемоль мажор, Ноктюрн до-минор №1, Соната №3; С. Рахманинов, Этюды-картины.